水素原子

第８講水素原子

水素原子: 水素原子における電子の Hamiltonian は次のように与えられる。; H = -(h²/2m_e)∇² - (1/4πε₀)e²/r; ここでは次のような近似が行われている。; (1) 陽子の運動は電子の運動に比べて十分緩慢で波動関数は陽子の部分と電子の部分の積の形に分離できる。; (2) 電子の質量 m_e は原子核（陽子）の質量 M_p に比べて十分小さく， m_e / M_p は無視できる。; (3) 陽子は原点に固定されていて動かない。; したがって，原子内の電子の状態が水素原子の状態となる。
Schrodinger 方程式: Hψ(r, θ, φ) = Eψ(r, θ, φ); 水素原子の Hamiltonian は球対称をしているので極座標を用いる。; 固有エネルギー; E_n = - [m_ee⁴ /{(4πε₀)²2h²}] (1/n²); 固有関数; ψ_n,l,m(r, θ, φ) = R_n,l(r)Y_l^m(θ, φ); 関数 R_n,l(r) の性質から，n ≧ l + 1 でなければならない。; n = 1, 2, 3, ...; l = 0, 1, 2, ...; m = -l, -l + 1, ..., l; n を主量子数，l を方位量子数，m を磁気量子数と呼ぶ。; 教科書 p.253～254 参照
角運動量 (2): 一般に Hermite 演算子 J = (J_x, J_y, J_z) が交換関係; [J_x, J_y] = ihJ_z; [J_y, J_z] = ihJ_x; [J_z, J_x] = ihJ_y; を満足するとき，J を一般に角運動量と呼ぶ。; J² = J_x² + J_y² + J_z²; とすれば，J² と J_z は可換である。; [J², J_z] = 0; したがって，J² と J_z には共通の固有関数が存在して; J²χ_j,m = j(j + 1)h²χ_j,m; J_zχ_j,m = mhχ_j,m; このとき，j と m は次のような値になる。; j = 0, 1/2, 1, 3/2, ...; m = -j, -j + 1, ..., j
電子のスピン: 電子のスピンを; [s_x, s_y] = ihs_z; [s_y, s_z] = ihs_x; [s_z, s_x] = ihs_y; を満足する。したがって，s は角運動量であり，角運動量の一般論より; s² と s_z には共通の固有関数が存在して; s²χ_{s,m_s}(σ) = s(s + 1)h²χ_{s,m_s}(σ); s_zχ_{s,m_s}(σ) = m_shχ_{s,m_s}(σ); 電子のスピンについては s = 1/2 で，したがって， m_s = -1/2, 1/2 となる。
水素原子の固有関数: Hψ_{n,l,m,m_s}(r,θ,φ,σ) = E_nψ_{n,l,m,m_s}(r,θ,φ,σ); ψ_{n,l,m,m_s}(r,θ,φ,σ) = R_n,l(r)Y_l^m(θ,φ) χ_{s,m_s}(σ)

演習問題

1. Bohr 半径: a₀ = 4πε₀h²/m_ee²; を概算しなさい。; (注) ここで h は h-slash(Dirac 定数) です。
この問題を通して勉強すること: 原子のおよその大きさを知る。
解答はこちらにあります。

課題

1. 水素原子の基底エネルギーを概算してみよう。
2. 水素原子において電子エネルギーの固有状態を分類しなさい。それぞれの状態は何重に縮退しているか。
SYLLABUS 目次

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