演習問題 7 の解答

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1.

球面調和関数 Y_l^m(θ，φ) は次のように 与えられる。

Y_l^m(θ，φ)
= [(2l + 1)(l - |m|)!/2(l + |m|)!]^1/2 P_l^|m|(cosθ)e^imφ

ここで P_l^|m|(ξ) は次のように与えられる。

P_l(ξ) = (1/2^ll!) d^l/dξ^l (ξ² - 1)^l

P_l^|m|(ξ) = (1 - ξ²)^1/2 d^|m|/dξ^|m| P_l(ξ)

P_l(ξ) はξの l 次多項式だから

|m| > l のとき P_l^|m|(ξ) = 0

したがって

|m| ≦ l

また，波動関数は 1 価の連続関数だから

Y_l^m(θ，φ) = Y_l^m(θ，φ + 2π)

e^2πi = 1

したがって，m は整数でなければならない。

ゆえに

m = -l, -l + 1, ..., l

[参考] P_l(ξ)，P_l^|m|(ξ) は それぞれ ルジャンドル(Legedre)多項式，ルジャンドル 陪多項式と呼ばれる。

類題

ラゲール(Laguerre)の多項式

L_α(ξ) = e^ξ d^α/dξ^α (ξ^αe^-ξ)

ラゲールの陪多項式

L_α^β(ξ) = d^β/dξ^β L_α(ξ)

において，α ≧ β であることを説明しなさい。

[参考] 水素原子における電子の固有関数の中にラゲールの陪多項式が L_n+l^2l+1(ξ) という形で含まれるために，主量子数と方位量子数の間に 次の関係があることがわかる。

α - β = n - l - 1 ≧ 0

すなわち

n ≧ l + 1

第 7 講

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