第４講 Schrodinger 方程式 (1)

Schrodinger 方程式

時間に依存する Schrodinger 方程式

∂Ψ/∂t = HΨ

H は Hamiltonian といい，質量 m の粒子がポテンシャル V(r) の中にあるときは次のような１次変換である。

H = -(h²/2m)∇² + V(r)

時間に依存しない Schrodinger 方程式

Ψが

Ψ(r, t) = ψ(r)e^iEt/h

のように表されるとき，Schrodinger 方程式は次の ように表される。

Hψ(r) = Eψ(r)

これは時間に依存しない Schrodinger 方程式と呼ばれる。

教科書 p.234〜235 参照

無限に高いポテンシャル障壁によって束縛された粒子の運動 （１次元）

V(x) = 0 for 0 < x < a

= ∞ otherwise

Hamiltonian H

H = -(h²/2m)d²/dx² + V(x)

Hψ = Eψ

解

x < 0 または x > a のとき， V(x) = ∞ だから

ψ(x) = 0

0 < x < a のとき， V(x) = 0 だから Schrodinger 方程式は

-(h²/2m)d²ψ/dx² = Eψ

E ≦ 0 では解はなく E > 0 のとき

E = E_n = (h²/2m)(nπ/a)²

ψ(x) = ψ_n(x) = (2/π)^1/2 sin(2nπ/a)

n = 1, 2, .....

古典力学との相違点

(1) 系のとり得るエネルギーが離散的である。

(2) 基底エネルギーが 0 でない。

教科書 p.235〜238 参照

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演習問題

1. 上の解について次の問に答えなさい。

(1) 第１励起エネルギーを求めなさい。

(2) 基底エネルギーが 0 でないという結果は不確定性原理に 対応していることを示しなさい。

この問題を通して勉強すること

簡単な例を通して Schrodinger 方程式を解く過程を知る。

解答は こちら にあります。

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課題

1. 上の Schrodinger 方程式を解いてみよう。

SYLLABUS 目次

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