第10講 原子

一般の原子

一般の原子内の電子の Hamiltonian

原子番号を Z とすれば

H = Σ_i=1^Z [-(h²/2m_e)∇_i² - Ze²/(4πε₀r_i)]

+ (1/2)ΣΣ_i≠j e²/(4πε₀r_ij)

一般の原子内の電子の Hamiltonian は個々の電子のエネルギーの 和として表せない。

一電子近似 (分子場近似)

電子の相互作用を均した近似

H = H₀ + H'

ここで， H₀ は個々の電子のエネルギーの和として 次のように表されるとする。

H₀ = Σ_i [-h²/2m_e∇_i² + V(r_i)]

ここで，V(r_i) は一個の電子に着目して，原子核との 相互作用に加えて，残りの電子との相互作用については平均化した ものを合わせたポテンシャルである。

原子は球対称していると考えられるから，V(r_i) は 中心力場のポテンシャルである。 (V は動径 r_i のみに依存する。)

また，V(r_i) は H' の期待値ができるだけ小さく なるように選ぶ。

そこで，第 0 近似として始めに Schrodinger 方程式

H₀Ψ⁽⁰⁽ = E⁽⁰⁾Ψ⁽⁰⁾

を解くことにする。ここで，波動関数Ψ⁽⁰⁾を

Ψ⁽⁰⁾(r₁, r₂, ..., r_Z) =

ψ_α(r₁) ψ_β(r₂) ・・・ ψ_ζ(r_N)

と置くと，ψ_ν は一体のSchrodinger 方程式

[-h²/2m_e∇² + V(r)]ψ_ν = ε_νψ_ν

を満たし，E⁽⁰⁾ は以下のように与えられる。

E⁽⁰⁾ = ε_α + ε_β + ・・・ + ε_ζ

エネルギー順位(１個の電子のエネルギー ε_ν)

原子軌道はエネルギーの低い順(ε_ν の小さい順)に ほぼ次のようにっている。

1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d, 4p, 5s, 4d, 5p, 6s, 4f, 5d, 6p, 7s, 6d

教科書 p.256〜257 参照

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演習問題

1. 原子番号 Z の原子において次の問に答えなさい。

(1) 電子の相互作用が電子間及び原子核との相互作用のみのとき Hamiltonian を記しなさい。

(2) 電子の全エネルギーが個々の電子のエネルギーの和として 表せないことを説明しなさい。

(3) 1電子近似について説明しなさい。

この問題を通して勉強すること

1電子近似について理解する。

解答は こちら にあります。

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課題

1. {1, 2, 3} の順列について次の問に答え得なさい。

(1) 可能な順列について全て記しなさい。

(2) それぞれの順列の転倒の数を記しなさい。

(3) 偶順列と奇順列に類別しなさいしい。

SYLLABUS 目次

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