第 7 章 Schrodinger 方程式 (2)
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無限に高いポテンシャル障壁によって束縛された粒子の運動
（3次元）
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Hamiltonian
- H = -(h'2/2m)∇2 + V(r)
- V(x, y, z) = 0 for 0≦x≦a, 0≦y≦b, 0≦z≦c
- = ∞ otherwise
- Hψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z)
- ψ(x, y, z) = X(x)Y(y)Z(z) と置けば，X, Y, Z はそれぞれ
１次元の場合の問題に帰着できる。
- En1,n2,n3
= (h'2/2m)[(n1π/a)2 +
(n2π/b)2 + (n3π/c)2]
- ψ(x, y, z) = ψn1,n2,n3(x, y, z)
- = (8π/abc)1/2
sin(n1π/a) sin(n2π/b) sin(n3π/c)
- n1, n2, n3 = 1, 2, ....
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縮退
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立方体の箱に束縛されている場合 a = b = c
- En1,n2,n3
= (h'2/2m)[(n1π/a)2 +
(n2π/a)2 + (n3π/a)2]
- ψn1,n2,n3(x, y, z)
- = (8π/a3)1/2
sin(n1π/a) sin(n2π/a) sin(n3π/a)
- n1, n2, n3 = 1, 2, ....
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この場合，第１励起状態は
- E2,1,1 = E1,2,1 = 1,1,2
= (h'2/2m)×6(π/a)2
- 固有関数は次の３個ある。
- ψ2,1,1 = (8π/a3)1/2
sin(2π/a) sin(π/a) sin(π/a)
- ψ1,2,1 = (8π/a3)1/2
sin(π/a) sin(2π/a) sin(π/a)
- ψ1,1,2 = (8π/a3)1/2
sin(π/a) sin(π/a) sin(2π/a)
- このように，同じ固有値に異なる（正しくは線形独立な固有関数）
固有関数があるとき，この状態は縮退しているという。
- この場合は，３個の異なる固有関数があるので３重に縮退している
という。
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教科書 p.209〜211 参照
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Tex document
演習問題
- 1. 上問題での箱の形が a = b > c の場合について次の問に答えなさい。
- (1) 第１励起状態のエネルギーを求めなさい。
- (2) 第１励起状態の固有関数を記しなさい。
- (3) 第１励起状態は何重に縮退しているか。
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この問題を通して勉強すること
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縮退の意味を理解する。
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解答は こちら にあります。
課題
- 1. 箱の形を変えて基底状態と第１励起状態について考えてみよう。
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SYLLABUS 目次
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